Модели ценообразования ванильных опционов

Лучшие брокеры бинарных опционов за 2020 год, народный рейтинг:
  • Бинариум
    Бинариум

    1 место! Лидер среди всех бинарных платформ.
    Лучший выбор для новичков и малоопытных трейдеров!
    Бесплатное обучение трейдингу и демо счет на любую валюту!
    Получите свой бонус за регистрацию в Бинариуме:

  • Биномо
    Биномо

    2 место в рейтинге! На случай, если Бинариум у вас не работает.

Определение цен барьерных опционов с помощью сеток. Часть первая – постоянные барьеры

Written on 04 Марта 2020 .

ОГЛАВЛЕНИЕ

Это первая часть в серии из четырех статей об определении цен на экзотические опционы с помощью методов на базе сетки. В этой части будет рассмотрен очень простой пример опциона с постоянным барьером.

Введение

Стоит отметить, что представленный метод можно расширить до вмещения опционов с несколькими постоянными барьерами. После изучения простого примера перейдем к более сложным опционам с изменяющимися во времени барьерами. Статья об изменяющихся во времени барьерах будет охватывать широкий спектр возможных барьеров, в том числе (но не только) одиночные и множественные линейные, меняющиеся во времени, барьеры и экспоненциальные барьеры. В третьей части серии будет рассмотрено определение цен бермудских опционов на триномиальной сетке и представлен ряд наглядных решений задач, которые ставят бермудские опционы. Наконец, в четвертой части серии, будет рассмотрен совершенно другой метод: модель адаптивной сетки (AMM). Этот метод является альтернативой изучаемому в частях 1-3. Данная серия дает представление о неизбежных трудностях расчета цен опционов и делает всеобщим достоянием некоторый код определения цен опционов. Для начала, данная статья будет посвящена одиночному барьеру, но в случае интереса в нее будут включены различные постоянные барьеры (т.е. активация, деактивация).

Справка

Аналитические формулы ценообразования опционов типа Блэк-Шольца пользуются большим вниманием в литературе по ценообразованию на рынке ценных бумаг. Однако на практике методы ценообразования на базе сетки остаются излюбленным методом определения цен экзотических опционов типа барьерных и бермудских опционов. Но если бы история остановилась там, не пришлось бы писать эту серию статей. Известно, что для таких сложных типов опционов стандартные методы сетки с трудом вырабатывают приближенные значения цен; особенно когда начальная базовая цена близка к барьеру. В ряде случаев эти численные методы терпят полную неудачу, и не удается вычислить цену опциона. Для борьбы с этой проблемой был разработан ряд специальных методов сетки для определения цен барьерных опционов. Однако множественные, нелинейные и дискретные барьеры уничтожают некоторые из этих методов. Крайне необходим универсальный многоцелевой алгоритм.

Представленный в данной статье алгоритм разработан именно с этим расчетом. Он основан на очень общем (но простом) методе, не только позволяющем изучить ценообразование, когда базовая цена как угодно близка к барьеру, но и вырабатывающем точные приближенные значения цен для всех типов барьерных опционов, включая бермудские. Приложенный к статье код служит строго для колл-опционов с нижней границей. Код для более сложных опционов будет рассмотрен в дальнейших статьях серии. Для простоты рассматривается биномиальная сетка; однако расширить метод до триномиального дерева достаточно просто. Предоставленный код реализован для триномиальной сетки. Наконец, по требованию может быть добавлен дополнительный код для опционов активации и деактивации с постоянными барьерами.

Задача

Барьерный опцион является зависящим от пути опционом. Его выигрыш определяется тем, достигает ли цена базового актива некоторого заранее установленного уровня цены, согласованного в момент контрактной покупки. В случае барьерного опциона с нижней границей выигрыш опциона установлен в ноль, когда базовая цена падает ниже барьера. Цену этого типа опциона можно определить с помощью того же метода триномиального дерева, применяемого для определения цен ванильных опционов; но без некоторого изменения триномиальное дерево будет сходиться с крайне низкой скоростью к «истинной» цене опциона. Одно возможное решение – передвинуть узлы сетки для увеличения сходимости, но это становится трудным (если не невозможным) для кривых барьеров. Более простой и понятный метод предусматривает корректировку вероятностей сетки с надлежащей поправкой. Базовый принцип использовался ранее для повышения скоростей сходимости алгоритмов ценообразования опционов Монте-Карло.

Рисунок 1. Конфигурация сетки для барьерного опциона с постоянным барьером L

Список лучших платформ для торговли бинарными опционами:
  • Бинариум
    Бинариум

    1 место! Лидер среди всех бинарных платформ.
    Лучший выбор для новичков и малоопытных трейдеров!
    Бесплатное обучение трейдингу и демо счет на любую валюту!
    Получите свой бонус за регистрацию в Бинариуме:

  • Биномо
    Биномо

    2 место в рейтинге! На случай, если Бинариум у вас не работает.

Рисунок 1 показывает конструкцию трехпериодной биномиальной сетки с постоянным барьером, L. Из-за дискретизированного пути, по которому меняется цена актива, базовая цена актива может нарушить барьер опциона без обнаружения этого моделированием методом Монте-Карло. Один способ смягчить эту проблему – использовать верхнюю границу броуновского моста для расчета вероятности того, что базовая цена актива дойдет до барьера для любого данного шага моделирования. Однако этот метод не лишен недостатков. Его нельзя эффективно использовать для определения цен опционов с множественным барьером и с меняющимся во времени барьером без серии приближений для вероятности выхода броуновского моста. Применение этих поправок вероятности к вероятностям сетки триномиального дерева позволяет определять цены опционов с одиночными и множественными постоянными барьерами на триномиальной сетке. Недавние разработки в литературе о ценообразовании дают источник для этих приближений вероятности выхода. Теперь эти приближения применяются к практической задаче ценообразования.

Поправка

В качестве вводного примера рассмотрено трехпериодное биномиальное дерево базового актива для колл-опциона с нижней границей, показанное на рисунке 1. На рисунке L является (нижним) барьером опциона, а индексированные значения S являются ценами узла для разных периодов времени, индексированных разделением по времени:

T – зрелость опциона, а n – число делений дерева. Чтобы определить цену опциона, строятся биномиальные деревья для базового актива и опциона обычным образом, с одним отличием: изменяется вероятность перехода биномиального дерева, если обнаруживается потенциальное пересечение барьера между узлами в текущий период времени и следующий период времени. На рисунке 1 такая ситуация могла бы возникнуть при переходе от S(T0) к S(T0+d). Надо скорректировать связанную вероятность перехода. Для осуществления корректировки вероятность перехода умножается на соответствующую вероятность выхода; в данном случае, при условии [1] для колла с нижней границей:

Следовательно, при такой корректировке вероятности скорректированная по вероятности цена опциона записывается так:

где CDAO – цена колл-опциона с нижней границей, а C(ST0+dt) – цена колл-опциона в узле S(T0+dt). Корректировка вероятности эквивалентна превращению биномиального дерева в триномиальное дерево вблизи барьера. Третья ветвь отражает вероятность, что барьер достигнут в промежуточный момент. Тогда опцион отменяется. Следовательно, третья ветвь не вносит вклад в стоимость опциона и может быть пропущена. Такой проход в цикле по сетке позволяет выработать приближение для «истинной» цены опциона.

Модели ценообразования опционов

Модели ценообразования опционов – это модели, объясняющие случайный порядок формирования стоимости опциона. Трейдеры и инвесторы активно используют такие модели для расчета потенциальной прибыли от сделки с опционом.

Эффективных моделей ценообразования опционов не существовало вплоть до 1973 года, когда появилась CAPM – модель ценообразования долгосрочных активов. Проблема этой модели заключалась в ее узком применении – она позволяла оценивать только рискованные активы. На настоящий момент существует большое количество более универсальных моделей, среди которых выделяются следующие:

Модель Блэка-Шоулза

Модель Блэка-Шоулза считается наиболее распространенной моделью ценообразования опционов – гипотеза авторов заключается в том, что если базисный актив торгуется на рынке, то и цена самого опциона на базисный актив диктуется рынком. Такая модель применима для оценки не только опционов, но и производных бумаг (например, варрантов) и собственного капитала фирмы.

Блэк и Шоулз считали, что основным фактором ценообразования выступает будущая волатильность базиса опциона. Цена на опцион возрастает и падает прямо пропорционально стоимости базисного актива. Для вычисления цены опциона была создана формула, что явилось революционным шагом для 70-х годов – прежде математический подход к оценке деривативов не использовался:

С помощью такой формулы рассчитывается стоимость опциона Call. Стоит пояснить, что означают переменные в этом уравнении: S – цена базового актива, N – вероятность того, что отклонение в условиях стандартного распределения будет меньше (для расчета N можно использовать Excel – функция НОРМСТРАСП), K – цена, по которой опцион будет реализован на дату экспирации, r – безрисковая ставка, T-t – время, оставшееся до даты экспирации.

Для расчета стоимости опциона Put используется та же формула, только вычитаемое и уменьшаемое меняются местами.

Биноминальная модель

Биноминальная модель имеет в основе предположение, что цена опциона может принимать одно из двух значений: U – минимум и D — максимум. Основной формулой для расчета стоимости опциона выступает следующая:

Для расчета переменных используется ряд вспомогательных формул:

Уточним, что S0 – это стоимость базисного актива на дату приобретения опциона, следовательно, показатели d и u – это цены максимум и минимум опциона, приведенные к первоначальной стоимости базиса. Переменная E – цена, по которой опцион будет реализован в дату экспирации, t – весь период существования опциона (от покупки до экспирации) – измеряется t в годах.

Биноминальная модель позволяет произвести оценку опциона в любой момент времени до срока реализации опциона, чем и отличается от модели Блэка-Шоулза. Поэтому биноминальная модель используется для оценки американских опционов (которые инвестор может закрыть в любой момент), а модель Блэка-Шоулза – для европейских опционов.

Модель Монте-Карло

Модель Монте-Карло предполагает оценку математического ожидания выплаты по всей истории базиса. Такая модель считается одной из самых сложных и используется тогда, когда остальные модели неприменимы.

Суть модели можно объяснить на примере игрального кубика. Математическое ожидание числа очков на кубике, вычисленное способом суммирования значений, составит 3.5. Если мы бросим кубик, допустим, 1000 раз и посчитаем среднее, то получим близкое значение, например, 3.505 или 3.497. При том чем больше бросков (применяется термин «итерации»), тем выше точность. Так же и с опционами – инвестору следует сгенерировать как можно большее число итераций цен базиса и посчитать среднее. Расчет будущей цены происходит по формуле:

В этой формуле t – момент времени (например, t = 1 обозначает цену опциона через год), S0 – настоящая цена базиса,
u – ожидаемая доходность базиса, выражаемая в процентах, o – отклонение доходности (также называется волатильностью), выражаемое в процентах. N0,1 – случайная величина. Сгенерировать случайную величину можно при помощи Excel.

Модель Хестона

Модель Хестона исходит из гипотез, что распределение цен активов может отличаться от логарифмически нормального и что волатильность может быть случайной. Модель Хестона применима только для опционов европейского типа. Она представляет собой систему уравнений:

Первое уравнение является основным, а второе задает дисперсию. Параметры имеют такой смысл:

  • X – цена опциона (X0 – первоначальная цена).

– равновесное вероятное отклонение.

– скорость возвращения к равновесному отклонению.

Модель Хестона, как и модель Монте-Карло, принадлежит к числу сложных моделей – для их расчета следует применять специализированные программы, так как ручной расчет потребует много времени и знаний. Именно из-за сложности альтернатив модель Блэка-Шоулза пользуется такой популярностью.

Модель Блэка Шоулза

Модель Блэка Шоулза для расчета стоимости опционов была впервые опубликована в 1973 году, в статье под названием «Ценообразование опционов и корпоративные обязательства» в журнале «Политическая экономика». Знаменитая формула Блэка Шоулза была открыта тремя экономистами- Фишером Блэком, Мирном Шоулзом и Робертом Мертоном. Данная модель и формула до сих пор являются самым знаменитым в мире инструментом оценки ценообразования опционов. Фишер Блэк скончался за два года до того, как Р. Мертон и М. Шоулз получили Нобелевскую премию по экономике (в 1997 году) за свой уникальный метод нахождения стоимости финансовых инструментов (по правилам, Нобелевская премия выдается только при жизни, тем не менее роль Фишера Блэка в создании модели Блэка Шоулза была отмечена комитетом).

Модель Блэка Шоулза используется для расчет теоритической стоимости Европейских опционов пут и кол (опцион пут — опцион на продажу, опцион кол – опцион на покупку). Данная модель игнорирует выплачиваемые дивиденды по акциями на протяжении всего времени существования опциона. Модель блэка Шоулза в оригинале не учитывала эффект выплаты дивидендов во время существования опциона, тем не менее модель может быть адаптирована и видоизменена путем нахождения «после дивидендной стоимости» связанной с опционом акции.

Модель Блэка Шоулза имеет некоторые допущения и предположения:

  1. Оцениваемые опционы являются европейскими и право покупки/продажи может быть применено только в день экспирации (последний день существования опциона).
  2. Дивиденды во врем существования опциона не выплачиваются.
  3. Финансовые рынки являются полностью эффективными, то есть участники рынка не могут предугадать рыночные колебания.
  4. Не существует комиссий и других транзакционных издержек.
  5. Безрисковая процентная ставка и волатильность соответствующих опционам акций известны и постоянны (константы).
  6. Стоимость опционов следует логарифмическому распространению, то есть доходность соответствующих опционам акций имеют функцию нормального распространения.

Формула Блэка Шоулза

Формула Блэка Шоулза, показанная на рисунке 1, учитывает следующие переменные:

1.Текущая стоимость акции.

2.Страйковая цена опциона (цена покупки/продажи акции по существующему опциону)

3.Время до даты экспирации (даты окончания срока действия опциона), выраженное в процентах от года.

4.Волатильность соответствующей опциону акции.

5.Безрисковая процентная ставка.

Формула Блэка Шоулза (для оценки кол опциона):

Рис.1 Формула Блэка Шоулза

С = кол премиум (стоимость опциона на продажу)

S = текущая рыночная цена соответствующей опциону акции

К = страйковая цена опциона

t = время до экспирации опциона, выраженное в годовой пропорции (время до окончания существования опциона)

r = безрисковая процентная ставка

N = суммированное стандартное распространение (можно найти в таблицах стандартного распространения)

e = экспоненциальный логарифм

s = стандартное отклонение акции (волатильность)

ln = натуральный логарифм

Модель условно разделена на две части: первая- SN(d1), умножение текущей рыночной стоимости акции на изменение в кол премиуме в пропорции к изменению цены соответствующей акции. Эта часть формулы показывает ожидаемую пользу от покупки акции в данный момент времени. Вторая часть формулы — N(d2)Ke^(-rt) показывает текущую стоимость уплаты страйковой цены за акцию в день экспирации (модель Блэка Шоузла относится только к Европейским опционам, где право использования опциона возможно только в день экспирации). Стоимость опциона рассчитывается путем вычитания второй части уравнения от первой, как показано в формуле на рисунке 4.

Математика, используемая в формуле Блэка Шоулза не всегда понятна людям, не имеющим специального образования. Тем не менее, у трейдеров и инвесторов нет необходимости знать и понимать математику для того, чтобы использовать формулу Блэка Шоулза для построения моделирования их инвестиционной стратегии.

Опционные трейдеры чаще всего имеют доступ к автоматизированным онлайн – калькуляторам стоимости опционов и многие торговые площадки включают в себя множество инструментов для анализа. Такие инструменты как различные индикаторы, электронные таблицы и онлайн – модели автоматически рассчитывают стоимость опционов.

  • Бинариум
    Бинариум

    1 место! Лидер среди всех бинарных платформ.
    Лучший выбор для новичков и малоопытных трейдеров!
    Бесплатное обучение трейдингу и демо счет на любую валюту!
    Получите свой бонус за регистрацию в Бинариуме:

  • Биномо
    Биномо

    2 место в рейтинге! На случай, если Бинариум у вас не работает.

Добавить комментарий